Capítulo 1 — Razonamiento matemático
Mapa de la lección
Lección 01 publicada. Mapa, ejemplo, EX002.
flowchart TD
N0["Resultados de aprendizaje y conexión"]
N1["1.1 Por qué la seguridad necesita números, y por qué"]
N2["1.3 Órdenes de magnitud y acotación"]
N3["1.5 Actividad práctica: Lab 1"]
N4["Síntesis del capítulo"]
N0 --> N1 --> N2 --> N3 --> N4
N4 --> EX["Ejemplo resuelto"]
EX --> Q["Ejercicio EX002"]
Dibujo lógico
flowchart LR
N0["Resultados de aprendizaje y conexión"]
N1["1.1 Por qué la seguridad necesita números, y por qué"]
N2["1.3 Órdenes de magnitud y acotación"]
N3["1.5 Actividad práctica: Lab 1"]
N4["Síntesis del capítulo"]
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[Resultados de aprendizaje y conexión]
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[1.1 Por qué la seguridad necesita números, y por qué]
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[1.3 Órdenes de magnitud y acotación]
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[1.5 Actividad práctica: Lab 1]
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[Síntesis del capítulo]
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[Ejemplo resuelto] --> [Ejercicio EX002]
Resultados de aprendizaje y conexión
Después de este capítulo usted podrá (1) convertir una preocupación vaga («¿y si el centro de despacho pierde su enlace a internet?») en una cantidad con unidades; (2) calcular una pérdida anual esperada y explicar por qué no es lo mismo que el peor evento creíble; (3) estimar órdenes de magnitud y comprobar un cálculo acotándolo; y (4) enunciar los supuestos que hay detrás de un número para que otra persona pueda discrepar de ellos con precisión. El capítulo presenta el condado sintético de Calder, que se usa a lo largo de todo el libro, y prepara el capítulo 6 (estructuras discretas) y el capítulo 12 (probabilidad y estadística).
1.1 Por qué la seguridad necesita números, y por qué los números no bastan
La seguridad de los sectores críticos está llena de comparaciones. ¿Debe el Calder Valley Hospital gastar dinero en un segundo enlace de red o en probar sus generadores? ¿Debe Calder Power Networks parchear un controlador de alimentador ahora, durante una parada planificada el mes próximo, o nunca? Son decisiones en condiciones de incertidumbre, y la única manera honesta de compararlas es hacer explícita la incertidumbre. El razonamiento matemático no significa aquí matemáticas avanzadas. Significa cuatro hábitos: dar una unidad a cada cantidad; anotar de dónde salió cada número; comprobar un resultado estimándolo de otra manera; y decir qué cambiaría la respuesta.
Una cantidad es un número con una unidad: 4 horas, £2.000 por hora, 0,3 eventos por año. La mayoría de los errores en la aritmética del riesgo son errores de unidades: multiplicar una probabilidad por año por un costo por hora, o sumar un porcentaje a un recuento. Escribir las unidades junto a cada término, y simplificarlas a medida que avanza, detecta estos errores antes que nadie.
1.2 El valor esperado y sus límites
En un modelo anual de un solo evento, si un evento tiene probabilidad $p$ y cuesta $C$ cuando ocurre, su pérdida anual esperada (EAL, por sus siglas en inglés) es $p \times C$. Las pérdidas esperadas de componentes de costo distintos se suman incluso cuando los eventos son dependientes: esta es la linealidad de la esperanza. Aun así, el analista debe evitar contar dos veces la misma consecuencia cuando los escenarios se solapan. La independencia es necesaria para algunos cálculos de probabilidad, como multiplicar las probabilidades de dos fallas, pero no para sumar costos esperados. El valor esperado ayuda a comparar el costo anual de un control con la pérdida que podría evitar. También puede ocultar diferencias importantes: una catástrofe de 1 entre 100 y una molestia casi segura pueden tener el mismo producto. Para un hospital, una pérdida de energía de 72 horas no es «lo mismo» que setenta y dos pérdidas de una hora: los pacientes que necesitan ventilación, diálisis o cirugía sufren daño por la duración, no por un promedio. Por eso, cada tabla de valor esperado de este libro va acompañada de un peor evento creíble: el resultado más grave que usted cree que podría ocurrir de forma realista, enunciado con su duración.
Las probabilidades que se usan en estas tablas rara vez se miden. Son estimaciones a partir de registros de incidentes, informes sectoriales o juicio experto. Eso es aceptable solo si usted lo dice. Un buen hábito es escribir la fuente entre paréntesis («(estimación, jefe de operaciones del CEDC, 2026)») y probar el cálculo con la mitad y con el doble de la estimación. Si la decisión no cambia, la estimación es suficientemente buena; si cambia, necesita más evidencia. El capítulo 15 vuelve sobre esta idea como análisis de sensibilidad.
1.3 Órdenes de magnitud y acotación
Antes de calcular con precisión, estime. Un hospital de 420 camas podría perder del orden de miles de libras por hora de interrupción en procedimientos cancelados y ambulancias desviadas, no decenas ni millones. Una estimación que cae tres órdenes de magnitud lejos del cálculo cuidadoso es señal de que se ha deslizado una unidad o una coma decimal. La acotación es la habilidad relacionada: si no puede estimar una cantidad, busque números entre los que deba estar. Si un programa de pruebas de generadores cuesta como mínimo £8.000 (tiempo del personal) y como máximo £15.000 (tiempo del personal más combustible y contratista), una decisión que se sostiene en ambos extremos no necesita la cifra exacta.
1.4 Ejemplo resuelto: dos propuestas en el condado de Calder (sintético)
Este caso es sintético. La County Resilience Partnership (CRP) del condado de Calder dispone de dinero para una de dos propuestas.
- A — segundo enlace a internet para el County Emergency Dispatch Centre (CEDC), con un costo de £18.000 al año. Sin él, la CRP estima una probabilidad anual de 0,30 de una caída del enlace de 4 horas y de 0,02 de una caída de 48 horas (un cable cortado en la única ruta), cada una con un costo de £2.000 por hora en personal de respaldo y retrasos.
- B — un programa de pruebas de generadores para el Calder Valley Hospital, con un costo de £12.000 al año. Sin él, la estimación es una probabilidad de 0,10 de que el generador no arranque durante 12 horas en un corte de la red y de 0,01 de una falla de 72 horas, cada una con un costo de £5.000 por hora.
Para A, EAL = 0,30 × 4 h × £2.000/h + 0,02 × 48 h × £2.000/h = £2.400 + £1.920 = £4.320 al año. Para B, EAL = 0,10 × 12 × 5.000 + 0,01 × 72 × 5.000 = £6.000 + £3.600 = £9.600. Ninguna opción «se paga sola» en términos esperados (cocientes 0,24 y 0,80), algo habitual en el gasto en resiliencia: compramos protección contra las colas, no contra los promedios. Los peores eventos creíbles (£96.000 y £360.000) hacen de B el caso más sólido, y el daño de B recae sobre pacientes, algo que ninguna cifra en libras expresa del todo. La recomendación es B, con el supuesto explícito de que las estimaciones de probabilidad son correctas dentro de un factor de dos.
1.5 Actividad práctica: Lab 1
El laboratorio reproduce la comparación. Cambie una probabilidad cada vez por un factor de dos y observe si cambia la clasificación.
# Lab 1 - expected loss versus worst credible case for two options (synthetic Calder data, offline)
options = {
"A: second ISP link for dispatch centre": {"cost": 18_000, "scenarios": [(0.30, 4, 2_000), (0.02, 48, 2_000)]},
"B: backup generator test programme": {"cost": 12_000, "scenarios": [(0.10, 12, 5_000), (0.01, 72, 5_000)]},
}
# each scenario: (annual probability it occurs without the option, outage hours, loss per hour in GBP)
for name, o in options.items():
eal = sum(p * h * c for p, h, c in o["scenarios"])
worst = max(h * c for p, h, c in o["scenarios"])
print(f"{name}: expected annual loss avoided = {eal:,.0f}; worst single event = {worst:,.0f}; cost = {o['cost']:,}")
print(f" ratio avoided/cost = {eal / o['cost']:.2f}")
Salida esperada:
A: second ISP link for dispatch centre: expected annual loss avoided = 4,320; worst single event = 96,000; cost = 18,000
ratio avoided/cost = 0.24
B: backup generator test programme: expected annual loss avoided = 9,600; worst single event = 360,000; cost = 12,000
ratio avoided/cost = 0.80
El laboratorio supone que cada opción elimina por completo sus escenarios. Los controles reales reducen la probabilidad o la duración solo en parte; el ejercicio EX002 le pide modelarlo.
Dos ejecuciones muestran para qué sirve el laboratorio. Reducir a la mitad la probabilidad de 0,10 de B, hasta 0,05, baja su pérdida esperada a £6.600, todavía por encima de los £4.320 de A, de modo que la clasificación se mantiene. Duplicar la probabilidad de 0,02 de A de una caída de 48 horas, hasta 0,04, eleva A a £6.240, todavía por debajo de B. Como ningún cambio individual invierte el orden, la recomendación del programa de generadores es robusta ante un factor de dos en cualquier estimación aislada, que es exactamente lo que afirmaba el ejemplo resuelto.
1.6 Errores comunes y límites
- Multiplicar cantidades con unidades incompatibles (una cantidad por año por otra por hora, sin convertir).
- Presentar una probabilidad estimada como si fuera medida.
- Clasificar opciones solo por pérdida esperada cuando el daño a las personas depende de la duración.
- Olvidar que los controles rara vez eliminan un riesgo por completo.
- Sumar probabilidades de eventos que no son mutuamente excluyentes (el capítulo 12 muestra la regla correcta).
Cada error tiene un ejemplo en Calder. El colega de EX001 multiplicó una probabilidad anual por horas y llamó al resultado libras por hora. Escribir «probabilidad de 0,02» sin fuente hace que la conjetura del CEDC parezca una tasa medida. Clasificar A y B solo por pérdida esperada ocultaría que la cola de £360.000 de B son 72 horas sin energía fiable en el hospital. Y el propio supuesto del laboratorio, que cada opción elimina por completo sus escenarios, es el cuarto error, incorporado a propósito en un modelo didáctico.
Ejercicios — capítulo 1
EX001 — Disciplina de unidades. Objetivo: encontrar y corregir errores de unidades. Entradas: un colega escribe «EAL = 0,02 por año × 48 horas × £2.000 = £1.920 por hora». Pasos: (1) simplifique las unidades término a término; (2) indique la unidad correcta del resultado; (3) explique en una frase por qué el error importa al compararlo con un costo anual de £18.000. Evidencia esperada: la expresión corregida con unidades. Rúbrica: 3 = unidad correcta (£ por año) y una razón clara; 2 = unidad correcta, razón débil; 1 = advierte un error pero lo describe mal; 0 = nada.
EX002 — Eficacia parcial. Objetivo: modelar un control que solo reduce un riesgo. Entradas: Lab 1. Pasos: suponga que la opción B reduce a la mitad la probabilidad de cada escenario en lugar de eliminarlo; modifique el laboratorio para calcular la pérdida evitada; luego duplique ambas probabilidades de B y vuelva a calcular. Evidencia esperada: dos números y una recomendación de dos frases. Rúbrica: 3 = valores correctos (£4.800 y £9.600) y una recomendación que menciona los peores eventos creíbles; 2 = números correctos, argumento débil; 1 = un número; 0 = nada.
Síntesis del capítulo
Las decisiones de seguridad son comparaciones en condiciones de incertidumbre. Dé unidades a las cantidades, separe la pérdida esperada del peor daño creíble, compruebe los resultados mediante estimación y acotación, y diga qué supuestos cambiarían la decisión. Un número sin fuente ni sensibilidad declaradas es una opinión disfrazada.
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