Capítulo 1 — Cálculo I
Mapa de la lección
Lección 01 publicada. Mapa, ejemplo, EX001.
flowchart TD
N0["Resultados de aprendizaje"]
N1["1.1 El nivel es caudal acumulado"]
N2["1.2 Por qué le importa a un ingeniero de seguridad"]
N3["1.3 Extracción variable"]
N4["Síntesis del capítulo"]
N0 --> N1 --> N2 --> N3 --> N4
N4 --> EX["Ejemplo resuelto"]
EX --> Q["Ejercicio EX001"]
Dibujo lógico
flowchart LR
N0["Resultados de aprendizaje"]
N1["1.1 El nivel es caudal acumulado"]
N2["1.2 Por qué le importa a un ingeniero de seguridad"]
N3["1.3 Extracción variable"]
N4["Síntesis del capítulo"]
N0 --> N1 --> N2 --> N3 --> N4 --> Q["EX001"]
[Resultados de aprendizaje]
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[1.1 El nivel es caudal acumulado]
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[1.2 Por qué le importa a un ingeniero de seguridad]
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[1.3 Extracción variable]
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[Síntesis del capítulo]
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[Ejemplo resuelto] --> [Ejercicio EX001]
Resultados de aprendizaje
Usted podrá (1) modelar el nivel de un tanque como la integral del caudal neto; (2) usar ese modelo para calcular cuánto tiempo tienen los operadores tras la parada de una bomba; (3) explicar por qué ese tiempo es una magnitud de seguridad, no solo de proceso.
1.1 El nivel es caudal acumulado
El tanque de alimentación T-1 de Ashford Batch Plant (ABP) contiene V(t) metros cúbicos. Si la bomba de reposición se detiene en t = 0 y el reactor sigue extrayendo q(t) m³/h, entonces V(t) = V₀ − ∫₀ᵗ q(s) ds. El nivel baja exactamente tan rápido como sale el caudal, y el tiempo hasta alcanzar la autonomía mínima segura V_min es el t* que resuelve ∫₀^t* q(s) ds = V₀ − V_min. Cuando q es constante, esto es (V₀ − V_min)/q; cuando q varía, hay que integrar.
1.2 Por qué le importa a un ingeniero de seguridad
Un atacante capaz de detener una bomba o falsear una lectura de nivel cambia esta integral. El tiempo de autonomía es la ventana en la que los operadores o un sistema de seguridad deben darse cuenta y actuar. Si T-1 contiene 12 m³, el mínimo es 2 m³ y el reactor extrae unos 1,8 m³/h, los operadores tienen aproximadamente 5,5 horas. Ese número pasa directamente al requisito de detección: una alarma que salta a las seis horas no detecta nada útil. El cálculo convierte «detectar rápido» en «detectar en menos de 5,5 horas, con margen».
Lena escribe el número en el requisito junto con la forma en que se calculó.
1.3 Extracción variable
La extracción de ABP oscila con la receta del lote: q(t) = 1,8 + 0,4 sin(2πt/6). Su integral tiene forma cerrada, y el laboratorio resuelve t* por bisección. La respuesta, 5,53 h, se acerca a la estimación con caudal medio de 5,56 h porque la oscilación se compensa a lo largo de un ciclo completo de seis horas; con una ventana más corta o una receta sesgada, ambas divergirían, y la elección conservadora es el tiempo menor.
# Lab 1 - tank hold-up after feed pump stop (Ashford Batch Plant, synthetic)
import math
V0, VMIN = 12.0, 2.0 # m3 in feed tank T-1
def outflow(t): # m3/h to reactor; t hours after stop of makeup
return 1.8 + 0.4*math.sin(2*math.pi*t/6)
def drawn(t):
return 1.8*t - (0.4*6/(2*math.pi))*(math.cos(2*math.pi*t/6)-1)
lo,hi=0.0,24.0
for _ in range(50):
mid=(lo+hi)/2
lo,hi=(mid,hi) if drawn(mid)<V0-VMIN else (lo,mid)
print(f"time to min level: {lo:.2f} h")
print(f"average-rate estimate: {(V0-VMIN)/1.8:.2f} h")
Salida esperada:
time to min level: 5.53 h
average-rate estimate: 5.56 h
Caso sintético — Ashford Batch Plant. Lena Okafor, ingeniera del Control Network Hardening Programme (CNHP), usó el cálculo de autonomía para argumentar que una alarma de nivel bajo en T-1 debe ser independiente del PLC-A, porque un PLC comprometido podría suprimir tanto el estado de la bomba como la alarma dentro de la ventana de 5,5 horas.
1.4 Errores y límites
Los modelos suponen que el sensor de nivel es honesto; el capítulo 29 trata la suplantación de sensores. Mezclar m³/h con minutos es el desliz más común. Elija siempre la raíz conservadora cuando la incertidumbre sea grande. Una lectura de nivel falseada es el caso que este modelo no puede manejar: si el transmisor informa de un tanque lleno mientras T-1 se vacía, la integral es correcta, pero nadie la está mirando. Por eso Lena acompaña el cálculo de autonomía con un interruptor de nivel independiente. Compruebe las unidades en cada paso, escriba el tiempo en horas con la extracción supuesta al lado y repita el cálculo cada vez que la receta cambie la demanda del reactor.
Ejercicios — capítulo 1
- EX001 — Extracción constante. T-2 contiene 9 m³, mínimo 1,5 m³, extracción constante de 1,25 m³/h. ¿Tiempo hasta el mínimo? Rúbrica: 3 = 6,0 h con el desarrollo; 2 = método correcto, error aritmético; 1 = solo la fórmula; 0 = nada.
- EX002 — Requisito. Convierta su respuesta de EX001 en un requisito de detección con margen. Rúbrica: 3 = límite de tiempo con margen declarado e independencia del PLC que controla; 2 = solo el límite de tiempo; 1 = un vago «rápido»; 0 = nada.
- EX003 — Lectura del laboratorio. ¿Por qué las respuestas por bisección y con caudal medio están tan cerca aquí, y cuándo no lo estarían? Rúbrica: 3 = un ciclo senoidal completo promedia 1,8; una ventana sesgada o corta diverge; 2 = una de las dos mitades; 1 = vago; 0 = incorrecto.
Síntesis del capítulo
El tiempo de autonomía es a la vez una integral y un presupuesto de seguridad: acota cuán tarde puede llegar la detección.
Siga estudiando — capítulo 01 de 50
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