Capítulo 1 — Cálculo I

Mapa de la lección

Lección 01 publicada. Mapa, ejemplo, EX001.

flowchart TD
  N0["Resultados de aprendizaje y conexión"]
  N1["1.1 Por qué un ingeniero de infraestructura necesita"]
  N2["1.2 Derivadas que usará"]
  N3["1.3 Integrales y cantidades acumuladas"]
  N4["1.5 Actividad práctica: Lab 1"]
  N5["Síntesis del capítulo"]
  N0 --> N1 --> N2 --> N3 --> N4 --> N5
  N5 --> EX["Ejemplo resuelto"]
  EX --> Q["Ejercicio EX001"]

Dibujo lógico

flowchart LR
  N0["Resultados de aprendizaje y conexión"]
  N1["1.1 Por qué un ingeniero de infraestructura necesita"]
  N2["1.2 Derivadas que usará"]
  N3["1.3 Integrales y cantidades acumuladas"]
  N4["1.5 Actividad práctica: Lab 1"]
  N5["Síntesis del capítulo"]
  N0 --> N1 --> N2 --> N3 --> N4 --> N5 --> Q["EX001"]

[Resultados de aprendizaje y conexión]
    |
    v
[1.1 Por qué un ingeniero de infraestructura necesita]
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    v
[1.2 Derivadas que usará]
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    v
[1.3 Integrales y cantidades acumuladas]
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[1.5 Actividad práctica: Lab 1]
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    v
[Síntesis del capítulo]
    |
    v
[Ejemplo resuelto] --> [Ejercicio EX001]

Resultados de aprendizaje y conexión

Al terminar este capítulo, usted podrá (1) leer una tasa de cambio como la magnitud física que vigila un operador: metros cúbicos por hora que salen de un depósito, megavatios que aumentan en un alimentador; (2) calcular una derivada y una integral definida para las curvas de demanda suaves que se usan en la planificación de infraestructura; (3) resolver problemas del tipo «cuánto falta hasta…» integrando una tasa y hallando el instante en que la cantidad acumulada alcanza un límite; y (4) explicar por qué el atajo de la tasa media puede sobrestimar el tiempo de autonomía. El capítulo inicia el caso de diseño del libro y prepara el capítulo 6, donde el mismo depósito se convierte en una ecuación diferencial con caudal de entrada y control.

1.1 Por qué un ingeniero de infraestructura necesita cálculo

Los servicios críticos son existencias y flujos. Un depósito es una existencia de agua tratada; las bombas y los consumidores son flujos. Un banco de baterías es una existencia de energía; la carga es un flujo. El tanque de combustible de un hospital, el empaquetamiento de una línea de gas, una cola de mensajes de telemetría sin procesar: cada uno es una cantidad que cambia a cierta tasa. Las preguntas de seguridad y resiliencia son casi siempre preguntas sobre estas cantidades bajo estrés. Si las bombas se detienen porque su red de control cayó, ¿cuántas horas de suministro quedan? Si un atacante puede mantener abierta una válvula, ¿con qué rapidez sube el nivel? La respuesta nunca es un único número de una hoja de datos; es la integral de una tasa en el tiempo, comparada con un límite que importa a las personas.

La derivada $dV/dt$ es la tasa instantánea a la que cambia una cantidad $V$. Si $V(t)$ es el volumen de un depósito en metros cúbicos y $t$ está en horas, $dV/dt$ está en m³/h. La integral definida $\int_a^b q(t)\,dt$ de un flujo $q$ es la cantidad total movida entre los instantes $a$ y $b$. El teorema fundamental del cálculo une ambas: si $V' = -q$, entonces $V(b) - V(a) = -\int_a^b q(t)\,dt$. Todo cálculo de autonomía de este libro es esa frase aplicada a una existencia real.

1.2 Derivadas que usará

Necesita un pequeño conjunto de herramientas: la derivada de un polinomio ($d/dt\, t^n = n t^{n-1}$), de la exponencial ($d/dt\, e^{kt} = k e^{kt}$), del seno y del coseno ($d/dt \sin(\omega t) = \omega\cos(\omega t)$), las reglas del producto y de la cadena, y la idea de punto estacionario, donde $f'(t) = 0$. La demanda diaria de una red de agua se aproxima a menudo con una media más una sinusoide de periodo de 24 horas. Si $d(t) = 150 + 60\sin(2\pi t/24)$ m³/h, entonces $d'(t) = 60\cdot(2\pi/24)\cos(2\pi t/24) \approx 15.7\cos(2\pi t/24)$ m³/h², de modo que la demanda crece más rápido (unos 15,7 m³/h por cada hora) cuando el coseno vale 1. Esa pendiente importa a un controlador de bombas: si las bombas solo pueden aumentar a 10 m³/h², irán por detrás de la demanda en su tramo más empinado.

1.3 Integrales y cantidades acumuladas

La antiderivada de la demanda anterior es $D(t) = 150t - \frac{60\cdot 24}{2\pi}\cos(2\pi t/24) + C$. El agua extraída desde el instante 0 hasta $T$ es $D(T) - D(0) = 150T - \frac{1440}{2\pi}(\cos(2\pi T/24) - 1)$. Observe lo que hace la sinusoide: a lo largo de un día completo se cancela, de modo que el total diario es simplemente $150 \times 24 = 3600$ m³; pero a lo largo de parte de un día no se cancela, y el momento en que empieza la interrupción cambia cuánto dura la existencia.

Para responder «¿cuándo alcanza el depósito su nivel mínimo seguro?», iguale el volumen extraído al volumen utilizable y despeje $T$. La mayoría de estas ecuaciones no tiene solución en forma cerrada, así que los ingenieros las resuelven numéricamente. La bisección divide por la mitad un intervalo que se sabe que contiene la respuesta hasta que es suficientemente pequeño; es lenta, pero no puede fallar si la función es continua y el intervalo inicial encierra la raíz.

1.4 Ejemplo resuelto: autonomía de Hollin Hill (sintético)

Este caso es sintético. El libro sigue a la inventada Lowmarsh Regional Water Authority (LRWA), que opera la planta de tratamiento de agua de Fenwick, seis estaciones de bombeo (PS1–PS6) y el depósito de servicio de Hollin Hill de 4.000 m³, que abastece, entre otros clientes, al Hospital St Brenna's. LRWA inicia un Telemetry Modernisation and Resilience Programme (TMRP), un programa de modernización y resiliencia de la telemetría; usted forma parte del equipo de ingeniería. Suponga que una falla en la red de telemetría detiene las bombas que alimentan Hollin Hill a las 06:00 (t = 0), cuando el depósito contiene 3.400 m³ (85 %). La política de operación considera el 20 % (800 m³) como el piso por debajo del cual la presión y las reservas contra incendios están en riesgo. La demanda es la $d(t)$ anterior, con t = 0 a las 06:00. El volumen utilizable es de 2.600 m³. Un planificador que divide por la demanda media obtiene 2.600/150 = 17,3 horas. Integrar la curva real da unas 14,6 horas, porque la interrupción comienza cuando la demanda sube hacia su pico de la mañana y del mediodía. La diferencia de 2,7 horas no es redondeo; es la diferencia entre enviar a tiempo un equipo con un generador y no hacerlo.

1.5 Actividad práctica: Lab 1

Ejecute el laboratorio con la biblioteca estándar de Python 3. Halla el tiempo exacto por bisección, compara la integración temporal de Euler explícito con tres tamaños de paso e imprime la estimación por tasa media.

# Lab 1 - how long does Hollin Hill reservoir last after the pumps stop? (synthetic, offline)
import math
V0, VMIN = 3400.0, 800.0          # m3: start at 85% of 4000, alarm floor at 20%
def demand(t):                     # m3/h, t in hours after the pumps stop (t=0 is 06:00)
    return 150.0 + 60.0 * math.sin(2 * math.pi * t / 24)
def drawn(t):                      # exact integral of demand from 0 to t
    return 150.0 * t - (60.0 * 24 / (2 * math.pi)) * (math.cos(2 * math.pi * t / 24) - 1)
lo, hi = 0.0, 48.0
for _ in range(60):                # bisection on drawn(t) = V0 - VMIN
    mid = (lo + hi) / 2
    lo, hi = (mid, hi) if drawn(mid) < V0 - VMIN else (lo, mid)
print(f"exact time to 20%: {lo:.2f} h")
for dt in (1.0, 0.1, 0.01):        # forward Euler
    v, t = V0, 0.0
    while v > VMIN:
        v -= demand(t) * dt; t += dt
    print(f"Euler dt={dt:<5} reaches 20% at {t:.2f} h")
print(f"constant-average model (150 m3/h): {(V0 - VMIN) / 150:.2f} h")
print(f"dV/dt at t=6 h: {-demand(6):.1f} m3/h")

Salida esperada:

exact time to 20%: 14.62 h
Euler dt=1.0   reaches 20% at 15.00 h
Euler dt=0.1   reaches 20% at 14.70 h
Euler dt=0.01  reaches 20% at 14.63 h
constant-average model (150 m3/h): 17.33 h
dV/dt at t=6 h: -210.0 m3/h

Euler con un paso de una hora sobrestima el tiempo en unas 0,4 h; con 0,01 h difiere de la respuesta exacta en solo 0,01 h. La derivada en t = 6 h es −210 m³/h: el vaciado más rápido de la ventana.

Antes de confiar en el laboratorio, compruebe que sus números coinciden con el ejemplo resuelto: el tiempo exacto debe coincidir con la autonomía integrada de Hollin Hill, y la línea de tasa media debe reproducir la estimación más larga del planificador. Si cambia la hora de inicio, mantenga el piso en 800 metros cúbicos para que la comparación siga siendo justa. Un resultado que solo aparece con un tamaño de paso es una propiedad del método, no del depósito.

1.6 Errores comunes y límites

• Usar una tasa media para un flujo variable en el tiempo durante menos de un ciclo completo.
• Mezclar unidades (litros por segundo frente a metros cúbicos por hora: 1 L/s = 3,6 m³/h).
• Ignorar que el volumen «utilizable» excluye el almacenamiento muerto y las reservas.
• Confiar en un método numérico sin contrastarlo con un paso más pequeño o con un caso exacto.
• Tratar el modelo de demanda como un hecho. Una sinusoide es una aproximación de planificación; la demanda real tiene efectos del día de la semana, del clima y de los eventos, y la demanda durante una emergencia puede bajar (avisos de ahorro) o subir (personas que almacenan agua).

Ejercicios — capítulo 1

EX001 — Pendiente máxima. Objetivo: usar una derivada para comparar la demanda con los límites de los equipos. Entradas: $d(t)$ de §1.2; bombas que pueden aumentar como máximo 12 m³/h por hora. Pasos: (1) halle $d'(t)$; (2) halle su máximo y la hora del reloj en que ocurre si t = 0 son las 06:00; (3) decida si las bombas pueden seguir la demanda en todo momento. Evidencia esperada: la derivación y una conclusión de ingeniería en una frase. Rúbrica: 3 = derivada, máximo y hora correctos, y la conclusión relaciona la pendiente con el límite de rampa; 2 = un desliz; 1 = solo la derivada; 0 = nada.

EX002 — Autonomía con otra hora de inicio. Objetivo: mostrar que la hora de inicio importa. Entradas: Lab 1. Pasos: cambie la demanda para que la interrupción empiece a las 18:00 (sustituya sin(2πt/24) por sin(2π(t+12)/24)), vuelva a ejecutar y compare con el resultado de las 06:00 y con la estimación por tasa media. Evidencia esperada: tres números y una recomendación de 100 palabras sobre qué valor debe citar un plan de emergencia. Rúbrica: 3 = números correctos y una recomendación de planificar con la peor hora de inicio creíble, con la razón; 2 = números correctos, recomendación débil; 1 = no ejecutado; 0 = nada.

Síntesis del capítulo

La infraestructura está hecha de existencias y flujos. Una derivada es una tasa que se puede comparar con lo que los equipos pueden hacer; una integral es una cantidad que se puede comparar con un límite que protege a las personas. El tiempo de autonomía es una integral resuelta para su límite superior, por lo general numéricamente, y depende de cuándo empieza la perturbación. Contraste los resultados numéricos con una solución exacta o más fina, mantenga explícitas las unidades y nunca deje que un promedio sustituya a una curva cuando la curva es lo que la interrupción va a encontrar.