Capítulo 6 — Cálculo II
Mapa de la lección
Lección 06 publicada. Mapa, ejemplo, EX011.
flowchart TD
N0["Resultados de aprendizaje y conexión"]
N1["6.1 Las existencias con realimentación se convierten"]
N2["6.2 La solución lineal de primer orden y la constant"]
N3["6.3 Solución numérica y error"]
N4["6.4 Sensibilidad: ¿qué supuesto importa?"]
N5["6.6 Actividad práctica"]
N6["Síntesis del capítulo"]
N0 --> N1 --> N2 --> N3 --> N4 --> N5 --> N6
N6 --> EX["Ejemplo resuelto"]
EX --> Q["Ejercicio EX011"]
Dibujo lógico
flowchart LR
N0["Resultados de aprendizaje y conexión"]
N1["6.1 Las existencias con realimentación se convierten"]
N2["6.2 La solución lineal de primer orden y la constant"]
N3["6.3 Solución numérica y error"]
N4["6.4 Sensibilidad: ¿qué supuesto importa?"]
N5["6.6 Actividad práctica"]
N6["Síntesis del capítulo"]
N0 --> N1 --> N2 --> N3 --> N4 --> N5 --> N6 --> Q["EX011"]
[Resultados de aprendizaje y conexión]
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[6.1 Las existencias con realimentación se convierten]
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[6.2 La solución lineal de primer orden y la constant]
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[6.3 Solución numérica y error]
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[6.4 Sensibilidad: ¿qué supuesto importa?]
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[6.6 Actividad práctica]
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[Síntesis del capítulo]
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[Ejemplo resuelto] --> [Ejercicio EX011]
Resultados de aprendizaje y conexión
Al terminar este capítulo, usted podrá (1) escribir una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de primer orden para una existencia con caudal de entrada y de salida; (2) resolver analíticamente EDO lineales de primer orden, incluida la aproximación exponencial al equilibrio y su constante de tiempo; (3) resolver EDO numéricamente y controlar el error debido al tamaño del paso; y (4) usar series y sensibilidad (derivadas parciales) para ver qué parámetro importa más para un margen de resiliencia. Amplía el capítulo 1 y prepara el capítulo 17 (control).
6.1 Las existencias con realimentación se convierten en ecuaciones diferenciales
El depósito del capítulo 1 tenía un caudal de salida conocido y ningún caudal de entrada. Las existencias reales tienen flujos que dependen de la propia existencia. El agua que sale de un tanque abierto por un orificio depende de la carga hidráulica sobre él; el cloro residual decae a una tasa proporcional a su concentración; la tensión en bornes de una batería cae con su estado de carga. Cuando la tasa depende de la cantidad, se obtiene una ecuación como $dx/dt = f(x, t)$. El caso importante más simple es lineal: $dx/dt = -kx + u$, con una constante $k > 0$ y una entrada $u$.
6.2 La solución lineal de primer orden y la constante de tiempo
Con $u$ constante, la solución es $x(t) = x_\infty + (x_0 - x_\infty)e^{-kt}$, donde $x_\infty = u/k$ es el equilibrio. La constante de tiempo $\tau = 1/k$ es el tiempo necesario para cerrar alrededor del 63 % de la brecha; tras $3\tau$ se cierra alrededor del 95 %, tras $5\tau$ alrededor del 99 %. Los ingenieros usan $\tau$ para razonar sobre la rapidez con que un sistema responde a un cambio, y sobre la rapidez con que responde a un ataque. Ejemplo: el cloro libre de un tanque de almacenamiento decae con una constante de primer orden; si $k = 0.05$ por hora, $\tau = 20$ h. Si la dosificación se detiene (por una avería o por una orden maliciosa), el residual se reduce a la mitad en $\ln 2/k \approx 13.9$ h. Esa es la ventana en la que un operador debe darse cuenta y actuar antes de que el residual caiga por debajo del mínimo reglamentario.
6.3 Solución numérica y error
En la práctica, la mayoría de las EDO son no lineales o están impulsadas por entradas medidas, así que se resuelven numéricamente. El método de Euler explícito, $x_{n+1} = x_n + h f(x_n, t_n)$, tiene un error global proporcional al paso $h$; reducir $h$ a la mitad reduce el error aproximadamente a la mitad. El método de Heun y el método clásico de Runge–Kutta de cuarto orden reducen el error mucho más rápido para el mismo $h$. Haga siempre una comprobación de convergencia con el tamaño del paso: si reducir $h$ a la mitad cambia la respuesta que le interesa más que su tolerancia, el paso es demasiado grande. En los sistemas rígidos (con algunos componentes mucho más rápidos que otros), los métodos explícitos pueden volverse inestables salvo que $h$ sea muy pequeño; Euler sobre $dx/dt = -kx$ es inestable para $h > 2/k$.
6.4 Sensibilidad: ¿qué supuesto importa?
Un margen de diseño depende de varios parámetros: nivel inicial, demanda, tasa de fugas, capacidad de bombeo. La derivada parcial del margen respecto de cada parámetro, multiplicada por el rango plausible de ese parámetro, muestra qué incertidumbre domina. Para la autonomía $T = V/q$ con demanda constante, $\partial T/\partial V = 1/q$ y $\partial T/\partial q = -V/q^2$; un error del 10 % en la demanda mueve $T$ aproximadamente lo mismo que un error del 10 % en el volumen utilizable, pero en sentido contrario. Las series de Taylor dan la misma intuición en los modelos no lineales: cerca de un punto nominal, $f(x + \Delta) \approx f(x) + f'(x)\Delta$.
6.5 Ejemplo resuelto: pérdida de la dosificación de cloro (sintético)
El residual a la salida de Hollin Hill de LRWA se mantiene en 0,8 mg/L; el mínimo de operación sintético es de 0,2 mg/L. Con la dosificación detenida y un decaimiento de primer orden $k = 0.05$ h⁻¹, el residual llega a 0,2 mg/L cuando $0.8e^{-0.05t} = 0.2$, es decir, $t = \ln 4 / 0.05 \approx 27.7$ h. Si el calor eleva $k$ a 0,08 h⁻¹, la ventana se reduce a 17,3 h. El equipo de diseño redacta el requisito R9: la pérdida de la dosificación deberá generar una alarma en menos de 15 minutos, con independencia de los informes de estado del propio controlador de dosificación, porque un controlador comprometido podría informar de una operación normal. La EDO se convirtió en un requisito de tiempo de detección con margen.
6.6 Actividad práctica
Modifique el Lab 1 para incluir un caudal de entrada constante de 120 m³/h procedente de una única bomba superviviente y una fuga de primer orden de $0.01V$ m³/h. Integre con Euler con tres tamaños de paso y halle analíticamente el nivel de equilibrio haciendo $dV/dt = 0$ con la demanda sustituida por su media. Informe el nivel de equilibrio y compárelo con la capacidad y el piso del depósito. Con una bomba a 120 metros cúbicos por hora frente a una demanda media de 150, la existencia debe seguir bajando salvo que la fuga compense la diferencia, así que compruebe si su respuesta analítica es físicamente posible antes de confiar en ella. Después confirme que las ejecuciones de Euler convergen a medida que el paso se reduce. El sentido del ejercicio es la combinación: una comprobación analítica, un resultado numérico y una prueba de convergencia que coincidan entre sí.
6.7 Errores comunes y límites
- Usar un decaimiento exponencial cuando el proceso no es de primer orden.
- Informar una solución numérica sin comprobación del tamaño del paso.
- Ignorar que los parámetros (tasas de decaimiento, demanda) derivan con la temperatura y la estación.
- Analizar la sensibilidad de un parámetro cada vez cuando los parámetros interactúan; para interacciones fuertes, use métodos globales (Saltelli et al., 2008).
En el ejemplo del cloro, un equipo que usara todo el año la constante de decaimiento del tiempo fresco creería tener 27,7 horas cuando el verano deja unas 17. La alarma de 15 minutos de R9 se eligió teniendo en cuenta ese rango estacional, y por eso el requisito no depende de la constante exacta.
Ejercicios — capítulo 6
EX011 — De la constante de tiempo al requisito. Objetivo: convertir la dinámica en un requisito de tiempo de detección. Entradas: §6.5. Pasos: (1) calcule la ventana con $k = 0.12$ h⁻¹; (2) si los operadores necesitan 4 h para restablecer la dosificación manualmente, calcule el último momento aceptable para la alarma; (3) redacte el requisito. Evidencia esperada: números y requisito. Rúbrica: 3 = ventana y margen correctos y un requisito verificable independiente del controlador; 2 = un desliz; 1 = solo números; 0 = nada.
EX012 — Estabilidad de Euler. Objetivo: ver la inestabilidad numérica. Entradas: $dx/dt = -kx$, $k = 0.5$, $x_0 = 1$. Pasos: calcule cinco pasos de Euler con $h = 1$, $h = 3$ y $h = 5$ y compárelos con la solución exacta. Evidencia esperada: tabla y explicación. Rúbrica: 3 = valores correctos y explicación de la inestabilidad para $h > 2/k$; 2 = valores correctos, explicación débil; 1 = un solo tamaño de paso; 0 = nada.
Síntesis del capítulo
Cuando un flujo depende de la existencia, escriba una EDO. Los sistemas lineales de primer orden se aproximan al equilibrio de forma exponencial con una constante de tiempo $\tau$; ese número se convierte en un requisito de detección y respuesta. Resuelva numéricamente con comprobaciones de convergencia y atención a la estabilidad. Use la sensibilidad para averiguar qué supuesto domina un margen, y diseñe una detección que no dependa del componente bajo sospecha.
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